Bala 通用 $m$ 形式调和数的证明

对于每一个非零整数 $m$ 和每一个整数 $n \ge 1$，第 $n$ 个调和数 $H_n = 1 + \tfrac12 + \dots + \tfrac1n$ 满足恒等式 $$H_n \;=\; \frac{1}{m}\,\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\, \binom{m k}{k}\binom{n + (m-1)k}{n - k}.$$ $m = 1$ 和 $m = 2$ 的情况为经典情况；对于一般非零整数 $m$，该恒等式由 P. Bala 在 OEIS 条目 A001008 中于 2022 年猜想，直至现在仍未被证明。我们在 $\QQ[[x]]$ 中进行证明。该证明通过代换 $u = x/(1-x)^m$ 归约为两个形式幂级数恒等式：对 $\sum_{k\ge1} \binom{mk}{k} u^k / k$ 的 Lagrange--Bürmann 评估，以及在该代换下，唯一解 $v(u)$ 的 fixed-point 事实 $v = u(1-v)^{m}$ 是 $v = x$。该论证对任意复数 $m \ne 0$ 都适用原样扩展。