Hofstadter H 序列中的隐藏信号

Hofstadter $H$ 序列定义为 $H(1) = 1$ 且对 $n > 1$ 有 $H(n) = n-H(H(H(n-1)))$。若 $\alpha$ 是 $x^3+x=1$ 的实根，我们证明数 $\alpha H(n) \mod 1$ 在 $[0,1]$ 上并非一致分布，而是收敛于一个我们认为是连续但不可微的分布。这受 Steinerberger 发现的启发，他找到了 Ulam 序列具有类似行为的实数。我们的结果与如下事实相关：由线性递推 $h_n=h_{n-1}+h_{n-3}$ 定义的某序列具有性质 $\|x h_n\| \rightarrow 0$ 恰对 $x \in \mathbb{Z}[\alpha]$ 成立，我们针对一般整数线性递推序列探究此现象。