双减运算的非结合性

OEIS 中的序列 A000975 可以定义为 $A_1=1$，若 $n$ 为奇数则 $A_{n+1}=2A_n$，若 $n$ 为偶数则 $A_{n+1}=2A_n+1$。该序列满足其他递推关系，具有一些闭式公式，并且已知可用于枚举若干有趣的物体族。我们利用由 $a\ominus b := -a -b$ 定义的二元运算提供了该序列的一个新解释。通过研究二叉树中的叶深度，我们证明了在表达式 $x_0\ominus x_1\ominus \cdots\ominus x_n$ 中插入括号所得到的不同结果的数量等于 $A_n$。我们的结果可以被视为对二元运算 $\ominus$ 的非结合性的定量度量。