二阶线性移置的单向多线性函数

我们提出并分析了一类关于有限维向量空间上的二元运算，这类运算由具有线性移置的二阶多线性表达式定义。这类运算生成的多项式在每次迭代应用后都会线性增长其次数，而不同单项式的数量则呈组合学增长。我们证明，尽管这些运算在一般情况下非交换且非结合，但在对单个向量进行迭代时具有幂结合性和内部交换性。这确保了幂运算 $a^n$ 是 well-defined 的且无歧义。关键在于，$a^n$ 无闭式表达式，暗示其具有单向性质：从 $a$ 和 $n$ 计算 $a^n$ 高效，而从 $a^n$ 恢复 $n$（即离散迭代问题）似乎计算上难以实现。我们提出一种基于此原理的 Diffie-Hellman 类密钥交换协议，引入代数 Diffie-Hellman 问题（ADHP）作为安全性的基本假设。除了代数基础之外，我们还对这些运算在有限域上的轨道结构进行了实证研究，观察到长循环和高度规则行为在参数集合中频繁出现。受这些动力学启发，我们进一步提出一种基于多元素乘法模式的伪随机数生成（PRNG）策略。该方法在实验中实现了接近最大循环长度和卓越的统计均匀性，凸显了这些运算在密码学和组合学应用中的潜力。