Mathar 2013 年 Laguerre 序列 A025166 递推猜想的简短证明

对于 OEIS 序列 A025166，其定义为 $a(n) = -n!\,2^{n}\,L_{n}(1/2)$，其中 $L_{n}$ 为次数为 $n$ 的 Laguerre 多项式。R.~J.~Mathar 于 2013 年 2 月提出该序列的阶 2 递归猜想：$$a(n) + (-4n+3)\, a(n-1) + 4(n-1)^{2}\, a(n-2) \;=\; 0, \qquad n \ge 2.$$ 我们给出一个一页的证明。指数生成函数 $F(x) = -\exp\!\big(-x/(1-2x)\big)/(1-2x)$ 满足一阶线性常微分方程 $(1-2x)^{2} F'(x) = (1-4x)\, F(x)$，而 Mathar 的递推随后通过读出 $x^{n}/n!$ 的系数而得出。上述两个步骤都简短。补充档案包括一个检查该 ODE 恒等成立以及递推在 $n = 5000$ 处数值验证的 SymPy 脚本。