Mathar 2020年关于广义斯特林序列A001711递推猜想的一个简短证明

对于OEIS序列A001711，该序列由N. J. A. Sloane早在在线时代之前贡献，并在那里被识别为广义斯特林三角形的对角线$T(n+4, 4)$，R. J. Mathar于2020年2月贡献了猜想的2阶P-递归递推关系 $$a(n) - (2n+5)\,a(n-1) + (n+2)^{2}\,a(n-2) \;=\; 0,\qquad n \ge 2.$$ 我们给出了一个一页纸的证明。Detlefs的调和数闭式形式 $a(n) = \tfrac{1}{4}(n+3)!\,(2 H_{n+3} - 3)$ 在除以 $(n+1)!/4$ 后，将左侧化简为一个关于 $n$ 且系数为 $H_{n+2}$ 的多项式恒等式。调和数系数简化为 $(n+3) - (2n+5) + (n+2) = 0$（利用 $H_{n+3} = H_{n+2} + \tfrac{1}{n+3}$ 和 $H_{n+1} = H_{n+2} - \tfrac{1}{n+2}$）；常数余项由于相同原因等于 $-3 \cdot 0 = 0$。补充档案包含一个SymPy脚本，用于符号验证这两个部分、对照调和闭式形式的指数生成函数展开，以及数值验证Mathar递推关系对于 $n = 2, \ldots, 5000$ 的正确性。