Mathar 2013 年 Meixner 多项式序列 A214615 递推关系的简明证明

对于 OEIS 序列 A214615，其定义为 $a(n) = M_{n}(1)$，其中 $M_{n}$ 为第 $n$ 个 Meixner 多项式，满足递推关系 $M_{n+1}(x) = x M_{n}(x) - n^{2} M_{n-1}(x)$。R.~J.~Mathar 于 2013 年 3 月 6 日提出该序列的阶 2 P 递归递推 $a(n) - a(n-1) + (n-1)^{2} a(n-2) = 0$（$n \ge 2$）。我们给出一页之内的证明。指数生成函数 $F(t) = \exp\!\bigl(\arctan t\bigr)/\sqrt{1+t^{2}}$ 满足一阶线性常微分方程 $(1+t^{2}) F'(t) = (1-t) F(t)$，而 Mathar 的递推关系随后通过提取 $t^{n}/n!$ 的系数而得出。两步均简洁。补充档案包括检查该 ODE 恒等成立并对 $n = 500$ 处的数值递推的 SymPy 脚本。