一类正交多项式及相关恒等式 II

对 $n=0,1,2,\ldots$ 令 $d_n^{(r)}(x)=\sum_{k=0}^n\binom{x+r+k}k\binom{x-r}{n-k}$。本文阐明 $\{d_n^{(r)}(x)\}$ 与 Meixner 多项式之间的联系。获得了 $d_n^{(r)}(x)$ 的新公式与递推关系,并给出了 $d_n^{(r)}(x)^2$ 公式的新证明。此外,对 $r>-\frac 12$ 且 $n\ge 2$,我们证明当 $x>-\frac 12$ 时 $d_n^{(r)}(x)>\frac{(2x+1)^n}{n!}>0$,而当 $x<-\frac 12$ 时 $(-1)^nd_n^{(r)}(x)>0$。