Poisson-Nernst-Planck 系统的保正、能量稳定且收敛的数值格式
数值分析
2020-09-18 v1 数值分析
摘要
在本文中，我们提出并分析了一种用于 Poisson-Nernst-Planck (PNP) 方程组的有限差分数值格式。为了理解 PNP 模型的能量结构，我们利用能量变分方法（EnVarA），将 PNP 系统重构为包含奇异对数能量势的非常数迁移率 梯度流。为确保唯一可解性和能量稳定性，迁移率函数被显式处理，而对数项和电势扩散项均被隐式处理，这得益于这两部分能量泛函的凸性质。我们在理论层面建立了两个浓度 和 的保正性质。这基于一个微妙的事实：对数项在 附近的奇异性阻止了数值解达到奇异值，从而保证数值格式始终是良定义的。此外，本工作提供了最优速率收敛分析，由于非线性抛物系数的存在，该分析必须涉及许多高度非标准的估计。为了实现这样的收敛结果，必须进行高阶渐近展开（时间精度最高达三阶，空间精度最高达四阶）、粗略误差估计（以建立 和 的 界）以及精细误差估计。据我们所知，本工作将首次在 PNP 系统的数值格式中结合以下三个理论性质：(i) 唯一可解性与保正性，(ii) 能量稳定性，以及 (iii) 最优速率收敛。本文还展示了一些数值结果，证明了所提出数值格式的鲁棒性。
引用
@article{arxiv.2009.08076,
title = {A positivity-preserving, energy stable and convergent numerical scheme for the Poisson-Nernst-Planck system},
author = {Chun Liu and Cheng Wang and Steven M. Wise and Xingye Yue and Shenggao Zhou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2009.08076},
year = {2020}
}