关于 $PSL(2,\mathbb{Z}[i]) \backslash PSL(2,\mathbb{C})$ 上 Mellin 变换、Eisenstein 级数与分布 $d\epsilon_{it}$ 的注记

设 $f$ 为定义在 $PSL(2,\mathbb{Z}[i]) \backslash PSL(2,\mathbb{C})$ 上具紧支集的光滑函数，我们证明 $f$ 的 Mellin 变换公式，进而可将微局部提升 $d\epsilon_{it}$ 定义到 $SL(2,\mathbb{C})$。对 $f$ 为尖点形式与 $f$ 为非完备 Eisenstein 级数的情形，我们计算了 $(f,d\epsilon_{it})$。我们还建立了当 $t$ 趋于 $\infty$ 时的渐近估计。我们猜想，利用 Friedrichs 对称化技术构造的新的正分布 $d\epsilon_{it}^F$ 满足与 $d\epsilon_{it}$ 相同的渐近估计。这将蕴含 $PSL(2,\mathbb{Z}[i]) \backslash PSL(2,\mathbb{C})$ 上 Eisenstein 级数的量子遍历性。