几何数论中的截断内积公式

我们研究原始子格在格空间 $\mathrm{SL}(n,\mathbb Z)\backslash\mathrm{SL}(n,\mathbb R)$ 中的统计分布。该领域的一个核心难题是，对秩为 $k$ 的子格计数函数的第二矩发生发散，其中 $2 \le k \le n-2$。为克服这一困难，我们分析形式为 $E_{f}(g) = \sum_{L} f(\det Lg)$ 的截断伪-埃尔森级数的内积，其中求和范围为 $\mathbb Z^n$ 的秩为 $k$ 的原始子格。我们为标准 Arthur 截断和一种“严厉”截断（其在紧凑集外消失）建立了此内积的渐近公式。我们的分析依赖若干独有技术结果，包括对这些伪-埃尔森级数证明均匀适度增长 (UMG) 属性的工作，以及一种新的解决 Maass-Selberg 关系中奇点问题的方法。作为主要应用，我们获得了对原始子格数量的误差界的显著改进。对于几乎每个格，我们将秩为 $k$ 的子格计数误差项从 $O(p^{n-1/7+\epsilon})$ 显著提升，超过经典界限，只要 $\min(k, n-k) \ge 8$。