${\rm SL}_N(\mathbb R)$、Selberg 积分与随机格的体积

由于 Siegel，矩阵群 GL${}_N(\mathbb R)$ 和 SL${}_N(\mathbb R)$ 有自然的左右不变 Haar 测度。为使相关体积有限，必须通过施加范数界来截断群，或在 SL${}_N(\mathbb R)$ 的情形下限制到基本域。我们计算了 GL${}_N(\mathbb R)$ 和 SL${}_N(\mathbb R)$ 矩阵在以下情形的与 Haar 测度相关的渐近体积：前者的算子范数介于 $R_1$ 与 $1/R_2$ 之间，后者的该范数或 2-范数受限于 $R$。由 Duke、Rundnick 和 Sarnak 的结果，SL${}_N(\mathbb R)$ 的这种渐近公式蕴含了 SL${}_N(\mathbb Z)$ 中矩阵的渐近计数公式。我们也讨论了从截断集中抽样 SL${}_N(\mathbb R)$ 矩阵。进而利用格约化到基本域，我们得到了在 $N=2$ 和 3 时最短长度基向量（或等价地相应随机格中最短线性无关向量）的长度和两两夹角的近似概率密度函数的直方图。在 $N=2$ 情形下这些分布被显式求出。