随机矩阵平均与 Dirichlet 及 Neumann 边界条件下的不可穿透玻色气体

在 Dirichlet 与 Neumann 边界条件下,不可穿透玻色气体的密度矩阵可以写成 $<\prod_{l=1}^n| \cos\phi_1-\cos\theta_l| |\cos\phi_2-\cos\theta_l|>$ 的形式,其中平均是关于分别来自经典群 $Sp(n)$ 与 $O^+(2n)$ 的随机酉矩阵的特征值概率密度函数取的。在大 $n$ 极限下,log-gas 的考量意味着该平均分解为形如 $<\prod_{l=1}^n|\cos\phi-\cos\theta_l>$ 的平均之积。通过变量代换,该平均进而成为随机矩阵论中 Jacobi 酉系综上对 $\prod_{l=1}^n| t-x_l|^{2q}$ 取平均所得关于 $t$ 的函数之特例。后者由 Selberg 关联积分理论中的一个对偶公式完成,并得到了大 $n$ 渐近形式。密度矩阵的相应大 $n$ 渐近形式,经由某一特定积分方程的精确求解,被用于计算低层有效单粒子态及其占据数的渐近形式,它们正比于 $\sqrt{N}$。