低乘积基数核函数对截断 Neumann 系列的快速评估

截断 Neumann 级数 $S_k(A)=I+A+\cdots+A^{k-1}$ 用于近似矩阵求逆和多项式预条件。稠密情形下，矩阵-矩阵乘积支配评估 $S_k$ 的成本。直接评估需要 $k-1$ 次乘积，而分裂方法可减少到 $O(\log k)$。重复平方例如使用 $2\log_2 k$ 次乘积，因而需更高基数核函数以每个更新延伸 $m$ 项。超出已知基数-5 核函数，更高基数显式构造尚不存在，是否存在精确有理核函数亦不明。我们构造 $T_m(B)=I+B+\cdots+B^{m-1}$ 的基数核函数，并用于构建更快的级数算法。对于基数 9，我们推导一个具有精确有理系数的 3 乘积核函数，这是基数 5 之外的第一个精确构造。该核函数产生 $5\log_9 k=1.58\log_2 k$ 次乘积，较重复平方降低 21%。对于基数 15，数值优化得到 4 乘积核函数，虽在到第 14 度匹配目标，但在第 15 度以上存在非零溢出（额外项）。由于溢出破坏标准 telescoping 更新，我们引入残差基数核框架以容纳近似核函数，保留系数 $(\mu_m+2)/\log_2 m$。在此框架下，基数 15 实现 $6/\log_2 15\approx 1.54$，为已知最佳渐近速率。数值实验支持预测的乘积计数节省及其关联运行时间趋势。