埃尔斯泰因级数的联立三次矩与赫尔默-马斯形式

设 $\psi$ 为 $\mathbb{X} = SL(2,\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}$ 上光滑紧支撑函数。本文关注当谱参数趋于无穷大时，自动形式联立三次矩的问题。我们证明，对埃尔斯泰因级数而言，对角情形有 $\int_{\mathbb{X}}\psi(z)E(z,1/2+it)^{3} d\mu z = \mathcal{O}_{\psi}(t^{-1/3+\varepsilon})$。在非对角情形，我们证明只要 $\min\{t , t_{g}\} \rightarrow \infty$，便有 $\frac{1}{2\log t}\int_{\mathbb{X}}\psi(z)|E(z,1/2+it)|^{2}g(z)d\mu z = o(1)$。最后，我们证明在 $|t_{f} - t_{g}| \leq t_{f}^{2/3-\varepsilon}$ 的范围内，$\int_{\mathbb{X}}\psi(z)f^{2}(z)g(z)d\mu z = o(1)$，其中 $f,g$ 为两个赫尔默-马斯 cusp 形式。