正交 Fourier-Jacobi Dirichlet 级数的解析性质

我们研究涉及两个正交群签名为 $(2,n+2)$ 的 cusp 形式的 Fourier-Jacobi 系数的 Dirichlet 级数的解析性质。利用 Klingen 类型正交 Eisenstein 系列，我们获得了该 Dirichlet 级数的积分表示。在当对应的晶格仅具有单个 1 维 cusp 时，我们将该 Eisenstein 系列重写为 Epstein zeta 函数的形式。如果此外 $4 \mid n$，我们推导了该 Eisenstein 系列与度为 $2$ 的雅可比群的 Siegel Eisenstein 系列之间的 theta 对应关系。通过这种方式，我们获得了将 Dirichlet 级数在 $\mathbb{C}$ 中的解析延续作为推论。以 $E_8$ 晶格为例，我们进一步推导出该 Dirichlet 级数的精确函数方程。