Jacobi ellipt 函数相关的傅里叶变换对与 Eisenstein 型级数

我们计算了以一种 Jacobi 椭圆函数除以 $\sinh(\pi x)$ 或 $\cosh(\pi x)$ 的比率表示的函数的傅里叶变换。在许多情况下， resulting Fourier 变换仍然属于同一函数类。应用 Mellin 变换，我们获得了十六个 Eisenstein 型级数 $\zeta_{j,l}(s,\tau)$，其中我们建立了几个结果：关于变量 $s$ 的解析延续，连接 $\zeta_{j,l}(s,\tau)$ 和 $\zeta_{l,j}(1-s,-1/\tau)$ 的函数方程，以及当 $s$ 运行于正偶数或奇数序列时 $\zeta_{j,l}(s,\tau)$ 的显式表达式。