Zak变换与Pauli相位恢复问题推广中的非唯一性

本文旨在继续由第二作者开启的分数阶傅里叶变换 $\ff_\alpha$ 的相位恢复问题研究。我们此处推广了A.E.J.M Janssen的一种方法，表明存在一个可数集 $\qq$，使得对于每个有限子集 $\aa\subset \qq$，存在两个互不成为倍数的函数 $f,g$，满足对每个 $\alpha\in \aa$ 有 $|\ff_\alpha f|=|\ff_\alpha g|$。等价地，在量子力学中，该结果可重新表述如下：若 $Q_\alpha=Q\cos\alpha+P\sin\alpha$（$Q,P$ 为位置和动量观测量），则 $\{Q_\alpha,\alpha\in\aa\}$ 关于纯态不是信息完备的。这是通过构造两个函数 $\ffi,\psi$，使得对每个 $\alpha\in \aa$，$\ff_\alpha\ffi$ 与 $\ff_\alpha\psi$ 具有不相交支撑来完成的。为此，我们建立了 $\alpha\in \qq$ 时的 $\ff_\alpha[f]$ 与Zak变换 $Z[f]$ 之间的联系，推广了 $Z$ 的著名边缘性质。