三次分数傅里叶变换相位检索的非唯一性

我们证明，无论角度 $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ 如何选择，三次分数傅里叶变换 $F_{\theta_1}$、$F_{\theta_2}$ 和 $F_{\theta_3}$ 都无法解决相位检索问题。也就是说，不存在三个角度 $\theta_1$、$\theta_2$、$\theta_3$，使得仅通过知晓三个强度 $|F_{\theta_1}\psi|^2$、$|F_{\theta_2}\psi|^2$ 和 $|F_{\theta_3}\psi|^2$ 就能确定任意信号 $\psi\in L^2(R)$（至多相差一个常数相位）。这为 P. Jaming 最近的一个推测提供了反面论据，该推测认为三个适当选择的分数傅里叶变换是无限维相位检索的良好候选。我们将此问题重述为量子力学语言，其中我们的结果表明，任何固定的三个旋转正交可观测量 $Q_{\theta_1}$、$Q_{\theta_2}$ 和 $Q_{\theta_3}$ 都不足以确定所有未知的纯量子态。四个旋转正交可观测量（或等价地，分数傅里叶变换）的充分性仍然是一个未决问题。