从三次测量实现相位恢复的唯一性

本文考虑如下问题：寻找$L^2(R)$上尽可能小的算子族$(T_j)_{j\in J}$使之能进行相位恢复：每个$\varphi$由无相位数据$(|T_j\varphi|)_{j\in J}$唯一确定（至多差一个常数相位因子）。该问题出现在应用科学的诸多领域中，其中算子通常还需满足额外限制。此处特别令人感兴趣的是所谓编码衍射图样，其中算子形如$T_j\varphi=\mathcal{F}m_j\varphi$，$\mathcal{F}$为傅里叶变换，$m_j\in L^\infty(R)$为“掩模”。本文显式构造了三个实值掩模$m_1,m_2,m_3\in L^\infty(R)$，使得相应的编码衍射图样可进行相位恢复。这意味着三个自伴算子$T_j\varphi=\mathcal{F}[m_j\mathcal{F}^{-1}\varphi]$也可进行相位恢复。证明使用了复分析。随后我们表明，由于欠采样效应，这些算子在有限维情形下的某些自然类比并不总是导致相同的唯一性结果。