Mellin型泛函积分及其在量子场论与数论中的应用

物理学中使用的常规泛函/路径积分，最常被显式或隐式地定义和理解为零维傅里叶变换的无穷维类比。本文定义并发展了 Mellin 变换的无穷维类比。相关的泛函积分是探测非交换函数空间（尤其是 $C^\ast$-代数）的有用工具。函数 Mellin 变换被用于定义预解式、复幂、迹、对数和行列式的泛函类比。我们考察了这些对象的若干方面，并将其应用于数学物理中的各种结构。作为重要应用，我们构造了基于 Mellin 的玻色与费米自由度的 QFT 生成泛函，探索了函数复幂与散射振幅之间的联系，从函数 Mellin 视角解释重整化，定义了参数依赖的熵从而形式上证明复本技巧的合理性，并探索了与函数迹和行列式相关的 $L$-函数。