非高斯泛函积分的框架及其在量子场论与数论中的应用

我们定义并发展了一个框架，将泛函积分理解为局部紧拓扑群上取值于 Banach 空间的 Haar 积分的可数族。该定义放弃了在无穷维函数空间上构造真正测度的目标，而是为无穷维域中局域化的拓扑实现提供了途径。这给出了刻画有意义泛函积分的可测子空间，以及一种具有显著潜力来表示适用于数学物理应用的非交换 Banach 代数的方案。该框架在更宽泛的结构中包含了其他在受限情形下定义泛函积分的成功方法，并且它提出了超越标准高斯情形的新的、潜在有用的泛函积分。特别地，定义并发展了基于斜 Hermite 与 Kähler 二次型的泛函积分。还定义了基于由 gamma 概率分布所启示的线性型的 gamma 型与 Poisson 型泛函积分。这些非高斯泛函积分有望在生成量子系统的 $C^\ast$-代数中发挥重要作用。为阐明并检验该框架，给出了量子场论与数论背景下的例子与应用。