Eisenstein 级数与 $K$-Bessel 函数的渐近

我们对 $K$-Bessel 函数 $K_{r + i t}(y)$ 给出估计，其中自变量 $y$ 为正实数，复阶 $r+it$ 很大，$r$ 有界且 $t = y \sin \theta$（固定参数 $0\leq \theta\leq \pi/2$）或 $t= y \cosh \mu$（固定参数 $\mu>0$）。特别地，我们计算出当 $y \rightarrow \infty$ 时 $K_{r + i t}(y)$ 渐近展开的主项。当 $t$ 与 $y$ 接近（或相等）时，我们也给出一致估计。作为这些估计的应用，我们对每个不等价尖点 $\kappa_j$ 给出了权零（实解析）Eisenstein 级数 $E_0^{(j)}(z, r+it)$ 在 $1/2 \leq r \leq 3/2$ 时的界。