奥尔恩斯坦-乌伦贝克算子的一个新的 $L^p$-反特征值条件

在本文中，我们研究扰动奥尔恩斯坦-乌伦贝克算子 \begin{align*} \left[ \mathcal{L}_{\infty} v\right](x) = A\triangle v(x) + \left\langle Sx,\nabla v(x)\right\rangle-B v(x),\,x\in\mathbb{R}^d,\,d\geqslant 2, \end{align*} 其中矩阵 $A,B\in\mathbb{C}^{N,N}$ 可同时对角化。无界漂移项由斜对称矩阵 $S\in\mathbb{R}^{d,d}$ 定义。在研究随时间变化的反应扩散系统中的旋转波时会出现此类微分算子。如一篇配套论文所示，证明 $\mathcal{L}_{\infty}$ 在 $L^p(\mathbb{R}^d,\mathbb{C}^N)$（$1<p<\infty$）中的预解估计的一个关键假设是如下 $L^p$-耗散条件 \begin{align*} |z|^2\mathrm{Re} \left\langle w,Aw \right\rangle + (p-2)\mathrm{Re} \left\langle w,z \right\rangle\mathrm{Re} \left\langle z,Aw \right\rangle \geqslant \gamma_A |z|^2|w|^2\; \forall\, z,w \in \mathbb{C}^N \end{align*} 对某个 $\gamma_A>0$ 成立。我们证明该 $L^p$-耗散条件等价于一个新的 $L^p$-反特征值条件 \begin{align*} A\text{ 可逆} \quad \text{且} \quad \mu_1(A) > \frac{|p-2|}{p}, \,1<p<\infty, \,\mu_1(A) \text{ 为 $A$ 的第一反特征值,} \end{align*} 这是扩散矩阵 $A$ 的第一反特征值的依赖于 $p$ 的下界。该关系借助 $A$ 的反特征值为复值奥尔恩斯坦-乌伦贝克算子的 $L^p$-耗散性提供了完整的代数表征和几何意义。证明基于拉格朗日乘子法。我们还讨论了几个可以显式给出第一反特征值的特例。