Cahn-Hilliard 型方程的一族二阶能量稳定格式

我们关注 Cahn-Hilliard 型方程的数值逼近，并提出了一族二阶无条件能量稳定格式。通过采用标量辅助变量将方程重新表述为等价系统，我们在时间步 $(n+\theta)$（$n$ 表示时间步指标，$\theta$ 为实值参数）处对该系统进行逼近，并设计了一族相应的具有二阶精度且无条件能量稳定的逼近。该族逼近包含了常用的 Crank-Nicolson 格式和二阶后向微分公式作为特例。我们进一步为所得的离散方程组开发了一种高效求解算法，以克服由未知标量辅助变量引起的困难。最终算法在每个时间步内仅需求解四个解耦的独立 Helmholtz 型方程，这些方程仅包含可预计算的常数且与时间无关的系数矩阵。给出了若干数值算例以展示本文所开发格式族的性能。我们指出，当与其他类型的梯度流结合辅助变量方法时，该族二阶逼近可轻易应用于设计能量稳定格式。