求解 $m$ 阶 Laplace 方程的 $C^{0}$ 内罚法

本文针对 $\mathbb{R}^{d}$ 中有界 Lipschitz 多面体区域上的 $m$ 阶 Laplace 方程提出一种 $C^{0}$ 内罚法，其中 $m$ 与 $d$ 可为任意正整数。采用标准的 $H^{1}$-协调分片 $r$ 阶多项式空间逼近精确解 $u$，其中 $r$ 为任意大于等于 $m$ 的整数。与 [T.~Gudi and M.~Neilan, {\em An interior penalty method for a sixth-order elliptic equation}, IMA J. Numer. Anal., \textbf{31(4)} (2011), pp. 1734--1753] 中的内罚法不同，我们避免计算每个单元上数值解的 $D^{m}$ 以及数值解沿网格界面的高阶法向导数。因此我们的方法易于实现。在证明离散 $H^{m}$-范数被与方法相关的自然能量半范数界定后，我们获得了关于离散 $H^{m}$-范数的稳定性与最优收敛性。数值实验验证了我们的理论估计。