弱饱和秩：线性代数方法在弱饱和中的失效

给定图 $F$ 和正整数 $n$，弱 $F$-饱和数 $\mathrm{wsat}(K_n,F)$ 是指在 $n$ 个顶点的图 $H$ 中，使得 $H$ 中缺失的边可以逐个添加，每个添加的边都会创建一个 $F$ 的副本所需的最小边数。Kalai 于 1985 年引入了一种线性代数方法，这成为证明弱饱和数下界的最有效工具之一。如果 $W$ 是由分配给 $K_n$ 中边 $e$ 的向量 $w(e)$ 所张成的向量空间，使得对于每一个 $F'\subset K_n$ 的 $F$ 的副本，存在非零 $\lambda_e$（$e\in E(F')$），满足 $\sum_{e\in E(F')}\lambda_e w(e)=0$，则 $\mathrm{dim}W\leq \mathrm{wsat}(K_n,F)$。在本文中，我们证明了该方法的局限性：我们展示了无限多个 $F$，使得对于每一个上述向量空间 $W$，都有 $\mathrm{dim}W<\mathrm{wsat}(K_n,F)$。我们还提出了该方法的一种修改方案，以便即使在原始线性代数方法不够的情况下也能获得紧下界。最后，我们将我们的结果推广到随机图、完整多部图和超图。