团的张量积的弱饱和

给定两个超图 $G$ 和 $H$，弱饱和数 $\operatorname{\mathrm{wsat}}(G,H)$ 是 $G$ 的一个生成超子图 $F$ 中边数的最小值，使得 $F$ 的缺失边可以逐条添加，且每条添加的边都创造出 $H$ 的一个副本。在本工作中，我们确定了当 $G$ 和 $H$ 均为团的张量积时的弱饱和数，推广了 Moshkovitz 和 Shapira（Journal of Combinatorial Theory, Series B, 2015）的结果，他们找到了 $\operatorname{\mathrm{wsat}}(K^d_{n_1,\ldots,n_d},\ K^d_{r_1,\ldots,r_d})$ 的精确值。该证明还给出了着色超图 $G$ 和 $H$ 的着色弱饱和数 $\operatorname{\mathrm{c-wsat}}(G,H)$ 的结果，其中 $H$ 的副本的着色必须与 $G$ 的着色相容。当 $G$ 和 $H$ 均为团的张量积的并集时，我们确定了这些数，推广了 Bulavka、Tancer 和 Tyomkyn（Combinatorica, 2023）确定 $\operatorname{\mathrm{c-wsat}}(K^q_{n_1,\ldots,n_d}, K^q_{r_1,\ldots,r_d})$ 的结果。此外，我们的证明使我们能够推广 Balogh、Bollobás、Morris 和 Riordan（Journal of Combinatorial Theory, Series A, 2012）的结果，通过确定 $\operatorname{\mathrm{c-wsat}}(K^d_{n_1,\ldots,n_d},\{K^d_{r_1,\ldots,r_d}\}_{\mathbf{r}\in \mathcal{R}})$，其中 $\mathcal{R}$ 为任意族。量 $\operatorname{\mathrm{c-wsat}}(G,\mathcal{H})$ 通过允许在每一步创建固定超图族 $\mathcal{H}$ 中任意超图的着色副本，扩展了着色弱饱和。