多部超图的弱饱和

给定 $q$-一致超图 ($q$-图) $F,G$ 和 $H$，其中 $G$ 是 $F$ 的生成子图，如果 $E(F)\setminus E(G)$ 中的边存在一个排序 $e_1,\dots, e_k$，使得对于所有 $i\in [k]$，超图 $G\cup \{e_1,\dots,e_i\}$ 包含一个同构于 $H$ 的副本，且该副本包含边 $e_i$，则称 $G$ 在 $F$ 中是弱 $H$-饱和的。$H$ 在 $F$ 中的弱饱和数是 $F$ 的 $H$-弱饱和子图的最小尺寸。弱饱和由 Bollobás 于 1968 年引入，但尽管经过数十年的研究，我们对它的理解仍然有限。主要困难在于证明弱饱和数的下界，这通常难以用组合方法解决，需要代数或几何性质的论证。在本文的主要贡献中，我们精确确定了有向设定下完全多部 $q$-图的弱饱和数，适用于任何参数选择。这推广了 Alon 1985 年的一个定理。我们的证明结合了 Kalai 工作中的外代数方法，以及受 Bulavka、Goodarzi 和 Tancer 关于彩色分数 Helly 定理近期工作启发的彩色外代数的使用。在第二个贡献中，我们回答了 Kronenberg、Martins 和 Morrison 的一个问题，建立了二部图在团与在完全二部宿主图中弱饱和数之间的联系。以类似的方式，我们渐近地确定了任何完全 $q$-部 $q$-图在团中的弱饱和数，推广了 Kronenberg 等人的另一个结果。