弱对数优化与行列式不等式

记 $\P_n$ 为 $n\times n$ 正定矩阵的集合。设 $D = D_1\oplus \dots \oplus D_k$，其中 $D_1\in \P_{n_1}, \dots, D_k \in \P_{n_k}$ 且 $n_1+\cdots + n_k=n$。将 $C\in \P_n$ 按 $(n_1, \dots, n_k)$ 分块，使得 $\Diag C = C_1\oplus \dots \oplus C_k$。我们证明了以下弱对数优化结果：\begin{equation*} \lambda (C^{-1}_1D_1\oplus \cdots \oplus C^{-1}_kD_k)\prec_{w \,\log} \lambda(C^{-1}D), \end{equation*} 其中 $\lambda(A)$ 表示 $A\in \Cnn$ 的特征值向量。若将特征值向量替换为奇异值向量，该不等式不成立，即 \begin{equation*} s(C^{-1}_1D_1\oplus \cdots \oplus C^{-1}_kD_k)\prec_{w \,\log} s(C^{-1}D) \end{equation*} 不真。作为应用，我们给出了 Matic \cite[Theorem 1.1]{M} 行列式不等式的一个推广。此外，我们得到了一个弱优化结果，该结果与 Choi \cite[Theorem 2]{C} 的行列式不等式互补，并提出了一个弱对数优化公开问题。