Pascal 行列式数组的对数凹性算子及其无限行列式对数凹性的因子分解

我们研究了 Pascal 行列式数组 $\PD_k$，其条目 $\PD_k(i,j)$ 为下三角 Pascal 矩阵 $P=( \binom{a}{b} )_{a,b\ge 0}$ 的 $k\times k$ minors。我们证明了行列式数组的对数凹性算子存在的精确因子分解：$$\LC(\PD_k)=\PD_{k-1}\Had\PD_{k+1},$$其中 $\LC(a)_j=a_j^2-a_{j-1}a_{j+1}$，$\Had$ 表示哈德玛（逐元素）乘积。该恒等式通过基于 David 规则思想的初等代数变换建立。我们进一步证明了一个关于对数凹数组哈德玛乘积下对数凹性算子亚乘性的一般不等式：$\LC(A\Had X)\ge\LC(A)\Had\LC(X)$。将因子分解与该不等式结合，得到一种统一的代数证明，表明每个 $\PD_k$（$k\ge 1$）的每一行都是无限对数凹的，这扩展了 Br"and\'en 对 Pascal 三角形（$\PD_1$）的著名定理至整个行列式等级系统。应用包括 $\{\PD_k(i,j)\}_{k\ge 0}$ 在行列式序数 $k$ 下的对数凸性以及一族行列式哈德玛不等式。