Pascal 行列式阵列与 Rahimpour 行列式恒等式的推广

我们引入一个新的无限阵列族，即 k 阶 Pascal 行列式阵列，记为 $PD_k$，其通过行列式构造推广经典 Pascal 阵列。我们给出生成 $PD_k$ 的递归算法，利用 Dodgson 缩合法与加权滑动交叉规则确立其正确性，并提供元素 $P^{(k)}_{i,j}$ 作为 Pascal 平面中加权双棒几何解释。我们的主要结果证明了一个推广 Rahimpour 恒等式的猜想：对所有 $i,j,k \ge 0$，$$P^{(k)}_{i,j} = P^{(j)}_{i,k},$$ 其中 $P^{(k)}_{i,j}$ 为始于 $(i,j)$ 的 Pascal 阵列的 $k \times k$ 子阵列的行列式。证明结合了代数递推技巧与揭示行列式 Pascal 结构内在对称性的基于几何的可视化论证。