等差数列集合中整数出现次数的计数

《整数序列在线百科全书》（OEIS）中的序列 $A067549$ 定义为 $(a_k)_{k \geq 1}$，其中 $a_k$ 是 $k \times k$ 矩阵的行列式，该矩阵的对角线包含前 $k$ 个素数，其余元素均为1。我们将此序列与一个具体的计数问题联系起来。对每个素数 $p_i$（$1 \leq i \leq k$）任选一个剩余类 $r_i$，并设 $P_k = \prod_{i=1}^k p_i$。我们证明 $a_k$ 是 $[1, P_k]$ 中被包含在至多一个所选剩余类中的整数个数。有趣的是，我们证明该序列与更为熟知的序列 $A005867$ 密切相关，后者我们通过行列式给出了新的刻画，并给出了 $[1, P_k]$ 中不被任何 $k$ 个剩余类包含的整数个数。我们的证明是纯粹结构性的，因此可以推广到利用一个以 $k$ 个不同素数为对角线元素、其余元素为1的矩阵的行列式，来计数整数在由 $k$ 个不同素数生成的任意等差数列的剩余类中的出现次数。所揭示的结构也为快速计算此类行列式提供了途径。