从组合设计导出 k CSP 的微分逼近结果

关于 $\mathsf{Max\,k\,CSP\!-\!q}$ 的不可近似性结果传统上使用平衡 $t$-wise 独立分布建立，这些分布与正交数组密切相关。本文探讨了这些组合结构在 $\mathsf{k\,CSP\!-\!q}$ 微分可近似性中的作用，提供了新的结构性见解和逼近界限。我们首先在 $\mathsf{k\,CSP\!-\!q}$ 实例上建立了平均微分比与正交数组之间的直接联系。这使我们能够推导出新的微分可近似性界限：对于 $(k +1)$-部分图实例为 $1/q^k$，对于布尔实例为 $\Omega(1/n^{\lfloor k/2\rfloor})$，当 $k=2$ 时为 $\Omega(1/n)$，以及当 $k, q\geq 3$ 时为 $\Omega(1/n^{k -\lceil\log_{\Theta(q)}k\rceil})$。随后，我们引入称为 {\em 字母缩减数组对} 的数组对族，这些数组对仍与平衡 $k$-wise 独立性相关。利用这些数组对，我们从 $\mathsf{k\,CSP\!-\!q}$ 建立到 $\mathsf{k\,CSP\!-\!k}$（其中 $q >k$）的归约，其在微分逼近保证上的扩张因子为 $1/(q -k/2)^k$。结合 1998 年 Yuri Nesterov 的结果，我们得出 $\mathsf{2\,CSP\!-\!q}$ 在微分因子 $0.429/(q -1)^2$ 下可被近似。最后，我们使用类似的布尔数组对——称为 {\em 覆盖数组对} —— 证明每个半径为 $k$ 的哈姆德球提供 $\Omega(1/n^k)$-近似实例直径。因此，我们的工作凸显了组合设计在为 CSPs 建立结构化微分逼近保证方面的重要性。