随机 Allen-Cahn 方程的弱误差分析

我们证明了对于随机 Allen-Cahn 方程在 $d=1,2,3$ 维中带加性噪声 resp. 乘性有色噪声的结构保持时间离散（步长为 $\tau$），其强收敛率 resp. 弱收敛率为 ${\mathcal O}(\tau)$。直接的变分论证利用第一种设定中三次非线性的单边 Lipschitz 性质来确定一阶强收敛率。正是同一性质使得相关 Kolmogorov 方程解的导数获得一致界，并进而在乘性噪声存在时导出弱收敛率 ${\mathcal O}(\tau)$。因此，我们获得了在乘性噪声存在时已知强误差收敛率的两倍收敛率。