d-微分模空间上的体积形式

给定 $d\in \mathbb{N}$， $g\in \mathbb{N} \cup\{0\}$，以及整向量 $\kappa=(k_1,\dots,k_n)$ 满足 $k_i>-d$ 且 $k_1+\dots+k_n=d(2g-2)$，令 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 表示亏格为 $g$ 的黎曼曲面上亚纯 $d$-微分的模空间，其零点与极点的阶由 $\kappa$ 指定。我们证明 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 带有一个典范体积形式，它关于其仿射复流形结构是平行的，并且 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)=\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}/\mathbb{C}^*$ 关于该体积形式诱导测度的总体积是有限的。