共形等变量子化

设 $(M,g)$ 为伪黎曼流形，$F_\lambda(M)$ 为 $M$ 上次数 $\lambda$ 的密度空间。我们研究从 $F_\lambda(M)$ 到 $F_\mu(M)$ 的二阶微分算子空间 $D^2_{\lambda,\mu}(M)$。若 $(M,g)$ 为符号 $p-q$ 的共形平坦流形，则 $D^2_{\lambda,\mu}(M)$ 被视为 $M$ 的共形变换群上的模。我们证明，对几乎所有的 $\mu-\lambda$ 值，$O(p+1,q+1)$-模 $D^2_{\lambda,\mu}(M)$ 与符号空间（即 $T^*M$ 上的二阶多项式空间）典范同构。这给出了二次哈密顿量的共形等变量子化。我们进一步证明该量子化映射可推广到任意伪黎曼流形，且只依赖于度量的共形类 $[g]$。作为例子，测地流的量子化给出了半密度上一个新的共形等变拉普拉斯算子，以及熟知的 Yamabe 拉普拉斯算子。我们也在该框架下重新得到了共形变换的多维 Schwarzian 导数。