广义康托尔集模空间的结构

对于每个 $\omega\in (0, 1)^{\mathbb N}$，我们可以构造一个康托尔集 $E(\omega)\subset [0, 1]$，称为 $\omega$ 的广义康托尔集。我们研究 $\omega$ 的模空间，记为 $\mathcal M(\omega)\subset (0, 1)^{\mathbb N}$。它是使得 $E(\omega')$ 与 $E(\omega)$ 共形等价的 $\omega'$ 的集合。在本文中，我们证明了集合 $\mathcal M(\omega)$ 在 $(0, 1)^{\mathbb N}$ 中是可测的，并给出了 $\omega'$ 属于 $\mathcal M(\omega)$ 的一个必要条件。利用该条件，我们证明了在 $(0, 1)^{\mathbb N}$ 中存在不可数个模空间。我们还证明，除了至多一个模空间外，模空间关于 $(0, 1)^{\mathbb N}$ 的标准乘积测度的体积为零。