退化图的顶点排序

图 $G$ 的 $\ell$-顶点排序是对 $G$ 的顶点用整数进行着色，使得对于 $G$ 中任意直径至多为 $\ell$ 的连通子图 $H$，$H$ 中存在一个顶点，其颜色大于 $H$ 中所有其他顶点的颜色。$G$ 的 $\ell$-顶点排序数 $\chi_{\ell-\mathrm{vr}}(G)$ 是使得 $G$ 存在使用 $k$ 种颜色的 $\ell$-顶点排序的最小整数 $k$。我们证明，对于任意固定的 $d$ 和 $\ell$，每个 $d$-退化的 $n$ 顶点图 $G$ 满足：若 $\ell$ 为偶数，则 $\chi_{\ell-\mathrm{vr}}(G) = O(n^{1-2/(\ell+1)} \log n)$；若 $\ell$ 为奇数，则 $\chi_{\ell-\mathrm{vr}}(G) = O(n^{1-2/\ell} \log n)$。$\ell=2$ 的情形（在 $\log n$ 因子内）解决了 \citet{karpas.neiman.ea:on} 提出的一个开放问题，而 $\ell\in\{2,3\}$ 的情形（在 $\log n$ 因子内）是渐近最优的。