不稳定的斯托克斯波

我们研究在重力作用下、于单位深度水中传播、振幅足够小的 $2\pi/\kappa$ 周期斯托克斯波的光谱不稳定性。数值证据表明,当未受扰动的波与其无穷小扰动发生共振时,波总是不稳定的。除复平面原点附近的 Benjamin--Feir 不稳定性外,这一现象尚未得到解析研究。本文中,我们发展了一种周期 Evans 函数方法,给出了 Benjamin--Feir 不稳定性的另一种证明,并首次给出了原点之外光谱不稳定性的证明。具体而言,我们证明了在原点附近当 $\kappa>\kappa_1:=1.3627827\dots$ 时的不稳定性,以及只要某一指标函数为正便由二阶共振导致的不稳定性。经过验证的数值计算确立该指标函数对某些 $\kappa<\kappa_1$ 确实为正,从而存在一个斯托克斯波是光谱不稳定的,即便它不受 Benjamin--Feir 不稳定性影响。证明涉及中心流形约化、Floquet 理论以及常微分方程与偏微分方程的方法。数值评估显示该指标函数在 $\kappa=1.8494040\dots$ 之外保持为正。因此,我们猜想所有振幅足够小的斯托克斯波都是光谱不稳定的。要证明该猜想,必须验证指标函数对足够小的 $\kappa$ 为正。