斯托克斯波的无限多个调制不稳定性等价线

本文证明了关于斯托克斯波在任意深度 $\mathtt{h} > 0$ 下，沿纵向扰动下存在无限多个高频调制不稳定性“等价线”的长期未决猜想。我们对在足够小�幅的斯托克斯波附近线性化的水波方程组，其 $L^2(\mathbb{R})$-谱中的不稳定谱带进行了完整表征。不稳定谱是由索引为整数 $\mathtt{p}\geq 2$ 的离散“等价线”组成的，这些等价线呈椭圆形，每个等价线的半轴大小为 $|\beta_1^{(\mathtt{p})} (\mathtt{h})| \epsilon^\mathtt{p}+ O(\epsilon^{\mathtt{p}+2} )$。作为第一个关键成就，我们获得了系数 $\beta_1^{(\mathtt{p})} (\mathtt{h})$ 的显式公式，可对任意 $\mathtt{p} \geq 2$ 给出，该公式仅依赖于斯托克斯波的最大泰勒-傅里叶系数。我们给出这些系数在浅水极限 $\mathtt{h} \to 0^+$ 下的渐近展开表达式，对任意 $\mathtt{p} \geq 2$ 均如此。这使得我们能够通过验证一个组合求和不为零来证明解析函数 $\beta_1^{(\mathtt{p})}(\mathtt{h})$ 对任意 $\mathtt{p} \geq 2$ 均不为零；这依赖于 Koutschan、van Hoeij 和 Zeilberger 所著述的关键组合恒等式。