有限水深中 Stokes 波的 Benjamin-Feir 不稳定性

Whitham 与 Benjamin 于 1967 年预测，若水深 $\mathtt h$ 大于临界阈值 $\mathtt h_{WB} \approx 1.363$，则二维重力水波方程的小振幅周期行波 Stokes 波相对于长波扰动是线性不稳定的。本文中，对任意 $\mathtt h > 0$，我们完整刻画了当 Floquet 指数 $\mu$ 开启时，Stokes 波处线性化方程靠近零的四个特征值。我们特别证明了存在唯一的水深 $\mathtt h_{WB}$（与 Whitham 和 Benjamin 所预测者一致），使得对任意 $0 < \mathtt h < \mathtt h_{WB}$，靠近零的特征值保持纯虚数；而对任意 $\mathtt h > \mathtt h_{WB}$，一对非纯虚特征值描绘出一个由 Floquet 指数参数化的闭合“8”字形。当 $\mathtt h \to \mathtt h_{WB}^+$ 时，该“8”字形坍缩至复平面原点。证明结合了 Kato 微扰理论的辛版本以计算 $4 \times 4$ 哈密顿可逆矩阵的特征值，以及受 KAM 启发的变换将其块对角化。这四个特征值均具有相同量级 $O(\mu)$——不同于 [6] 中无限深水情形——且正确的 Benjamin-Feir 现象仅在一步非微扰块对角化之后才出现。此外，在整个证明过程中必须追踪 $4 \times 4$ 约化矩阵各元素对水深 $\mathtt h$ 的显式依赖关系。