偏微分方程中的两个问题（葡语）

本文中，我们考察非线性偏微分方程理论中的两个重要问题。在第一部分，我们提出并求解了 $\mathbb{R}^{3}$ 中不可压缩 Navier-Stokes 方程的著名 Leray 问题的一个更一般且更完备的版本；该问题的最简形式由 J. Leray 于 1934 年提出（且仅在 1980 年代由 T. Kato、K. Masuda 及其他作者解决）。此处还给出了若干对 Leray 解理论有明显意义的相关新结果。在独立于第一部分且可单独阅读的第二部分中，我们引入了一类重要的新问题，涉及 $\mathbb{R}^{n}$ 中守恒对流-扩散方程解的全局存在性与爆破现象，其中低阶项中的异质性趋于使解失稳（处处或在某些区域），并与粘性耗散效应强烈竞争以决定整体解的行为。我们考虑超线性对流（及任意维数）的情形，其可能在若干重要空间中引发有限时间爆破。进而我们指出一种可恰当地称为“反 Fujita”的新现象——因其与 Fujita 于 1960 年代发现且此后一直被研究的爆破行为类型形成鲜明对比——该现象在文献中显然被完全忽视了。