不可压缩 Toner-Tu 方程的分析与计算研究

不可压缩 Toner-Tu（ITT）偏微分方程（PDEs）是一组活性流体 PDE 的重要例子。虽然它们与 Navier-Stokes 方程（NSEs）享有某些性质，例如相同的标度不变性，但也存在重要差异。NSEs 通常在衰减或加性强迫情形下考虑，而 ITT 方程没有加性强迫。相反，它们包含一个线性的、活性项 $\alpha \bu$（$\bu$ 为速度场），将能量泵入系统，但也包含一个负的 $\bu|\bu|^{2}$ 项，为冻结或统计稳态提供了平台。综合来看，这些差异使 ITT 方程成为结合 PDE 分析与伪谱直接数值模拟（DNSs）研究的引人入胜的候选者。在 $d=2$ 情形下，我们已建立解的全局正则性，但也展示了速度场高阶导数与高阶矩的加权、时间平均范数的有界层级的存在。在 $d=3$ 情形下，对 Leray 型弱解也建立了类似的有限层级。我们给出这些范数在 $d=2$ 和 $d=3$ 下来自 DNSs 的结果，并与相应的 Navier-Stokes 结果进行对比。