随机六顶点模型到 Airy 过程的两点收敛

本文考虑象限中以阶梯初始数据开始的随机六顶点模型。经过长时间 $T$ 后，已知单点高度函数涨落的阶为 $T^{1/3}$ 且由 Tracy-Widom 分布支配。我们证明高度函数的两点分布，在水平方向按 $T^{2/3}$、垂直方向按 $T^{1/3}$ 重新标度后，收敛到 Airy 过程的两点分布。该结果的出发点是 Borodin-Bufetov-Wheeler 近期发现的随机六顶点模型与升序 Hall-Littlewood 过程（平面分拆上的某种测度）之间的联系。利用 Macdonald 差分算子，我们获得了升序 Hall-Littlewood 过程的两点观测量的公式，对于六顶点模型这给出了其高度函数联合累积分布函数的途径。对这些观测量的细致渐近分析在模型参数一定限制下给出了两点收敛结果。