随机高自旋六顶点模型与 q-TASEP

我们给出了象限中的非均匀随机高自旋六顶点模型与来自 Macdonald 过程层次的可积随机系统之间的两个新联系。首先，我们展示了如何利用 $t=0$ 的 Macdonald $q$-差分算子（研究相应 Macdonald 过程的关键代数工具）来获得高自旋六顶点模型中高度函数 $\mathfrak{h}$ 的 $q$-矩，该矩最初在 arXiv:1601.05770 中使用 Bethe 拟设计算。这一结果特别地意味着，对于具有阶跃伯努利边界条件的顶点模型，任意点 $(N+1,T)\in\mathbb{Z}_{\ge2}\times\mathbb{Z}_{\ge1}$ 处的 $\mathfrak{h}$ 值与特定 $t=0$ Macdonald 测度下随机分割的最后一个分量 $\lambda_N$ 具有相同的分布。另一方面，已知 $\mathbf{x}_N:=\lambda_N-N$ 可识别为从阶跃初始配置出发的某离散时间 $q$-TASEP 中第 $N$ 个粒子的位置。我们给出的第二个构造是此 $q$-TASEP 与高自旋六顶点模型（具有阶跃伯努利边界条件）沿类时路径的耦合，为 $\mathfrak{h}(N+1,T)$ 与 $\mathbf{x}_N+N$ 分布相等提供了独立的概率解释。结合最近在 arXiv:1608.01553 中获得的随机高自旋六顶点模型与 Schur 测度（即 $t=q$ 的 Macdonald 测度）之间可观测量平均值的等价性，这产生了具有阶跃初始配置和特殊跳跃参数的离散时间 $q$-TASEP 的 GUE Tracy--Widom 渐近。