有色随机顶点模型及其谱理论

本工作致力于 $\mathfrak{sl}_{n+1}$ 相关的可积随机顶点模型；我们称此类模型为有色模型。我们证明了关于这些模型的若干结果，包括如下内容：(1) 我们构造了有色转移矩阵（有理）本征函数的一组基，将其表示为具有特定边界条件的格点模型的配分函数。类似地，我们构造了对偶基，并证明了相应的正交关系与 Plancherel 公式；(2) 我们推导了这些本征函数的多种组合性质，例如分支规则、Hecke 差商算子下的交换关系、不同类型的（斜）Cauchy 恒等式，以及单项展开；(3) 我们证明了我们的本征函数是嵌套 Bethe Ansatz 本征函数的某些（非平凡的）约化；(4) 对于具有域壁（或半 Bernoulli）边界条件的象限模型，我们证明了一个匹配关系，将一点处有色高度函数的分布与关联的无色（$\mathfrak{sl}_2$ 相关）随机顶点模型中沿一条直线的高度函数分布等同起来。得益于关于无色模型高度函数渐近性的诸多已知结果，这蕴含了我们的模型中有色高度函数的类似多样极限定理；(5) 我们展示了有色-无色匹配如何退化为 ASEP、$q$-PushTASEP 与 $q$-boson 模型的有色（或多物种）版本；(6) 我们展示了我们的本征函数如何与非对称 Cherednik-Macdonald 理论相关联，并利用这一联系，通过对相应的非对称 Cauchy 恒等式施加 Cherednik-Dunkl 算子，证明了一个概率匹配结果。