从对偶性到 q-TASEP 和 ASEP 的行列式
摘要
我们证明了两个相互作用粒子系统的对偶关系： 变形全不对称简单排斥过程（-TASEP）和不对称简单排斥过程（ASEP）。对偶泛函的期望值分别对应于粒子位置或积分流的某些联合矩。对偶性意味着它们求解 ODE 系统。这些系统是可积的，对于特定的阶梯型和半稳态初始数据，我们使用嵌套围道积分 Ansatz 为系统解提供显式公式，从而也得到矩的公式。我们构建了这些矩的类 Laplace 变换生成函数，并通过留数微积分计算了此类生成函数的两种不同类型的 Fredholm 行列式公式。对于 ASEP，第一种类型的公式是新的，且易于进行渐近分析（这对于重新证明 ASEP 的 GUE Tracy--Widom 分布涨落是必要的），而第二种类型的公式可识别为与 Tracy 和 Widom 的 ASEP 公式密切相关 [Comm. Math. Phys. 279 (2008) 815--844, J. Stat. Phys. 132 (2008) 291--300, Comm. Math. Phys. 290 (2009) 129--154, J. Stat. Phys. 140 (2010) 619--634]。对于 -TASEP，两种公式均与通过 Borodin 和 Corwin 的 Macdonald 过程计算的公式一致 [Probab. Theory Related Fields (2014) 158 225--400]。-TASEP 和 ASEP 都具有极限跃迁至连续定向聚合物的自由能、随机热方程解的对数或 Kardar--Parisi--Zhang 方程的 Hopf--Cole 解。因此，-TASEP 和 ASEP 是这些连续对象的可积离散化；与其对偶性相关的 ODE 系统是变形的离散量子 delta Bose 气体；而我们从对偶泛函的期望值过渡到刻画生成函数的过程，是物理学中复制技巧（replica trick）的严格版本。
引用
@article{arxiv.1207.5035,
title = {From duality to determinants for q-TASEP and ASEP},
author = {Alexei Borodin and Ivan Corwin and Tomohiro Sasamoto},
journal= {arXiv preprint arXiv:1207.5035},
year = {2014}
}
备注
Published in at http://dx.doi.org/10.1214/13-AOP868 the Annals of Probability (http://www.imstat.org/aop/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org)