六顶点模型的随机偏微分方程极限

我们研究了随机六顶点模型，并证明了在弱不对称缩放下（即当参数 $\Delta\to 1^+$ 以放大铁电/无序相临界点时），其高度函数涨落收敛于 KPZ 方程的解。我们还证明了对称六顶点模型的一维随机 Gibbs 态族在相同缩放下收敛于随机 Burgers 方程的平稳解。我们的证明依赖于该模型的 Markov（自）对偶性。出发点是随机六顶点模型的一个精确微观 Hopf-Cole 变换，该变换源于模型已知的单粒子 Markov 自对偶性。给定此变换，关键步骤是建立变换后高度函数的特定二次函数的自平均。我们利用模型的双粒子自对偶性来生成条件期望的显式表达式（表现为 Bethe ansatz 围道积分），从中我们提取出时间退相干，进而得到时间上的自平均。我们的 Markov 对偶方法的关键在于，整个收敛结果可归结为对单粒子和双粒子转移概率的精确估计。在我们之前的工作中，Markov 对偶性仅被用于证明粒子系统向线性高斯 SPDE（例如带加性噪声的随机热方程）的收敛。