分数阶随机 Burgers 方程的微观推导

我们从 ${\mathbb Z}$ 上的一类微观非对称相互作用粒子系统推导出不同的连续介质分数阶 SPDE，其长程跳跃速率量级为 $|\cdot|^{-(1+\alpha)}$，其中 $0<\alpha<2$。更具体地说，我们证明了零程过程（zero-range processes）的流体动力学质量密度场的平衡涨落，取决于非对称性的结构以及该场是否随过程特征速度平移，在各种意义上由不同类型的分数阶随机热方程或 Burgers 方程支配。主要结果：假设跳跃速率使其对称化部分是长程的，但其（弱）非对称部分是最近邻的。那么，当 $\alpha<3/2$ 时，在 $1/\alpha:1$ 的时空尺度下，随过程特征速度平移的涨落场，无论非对称性的强度如何，都收敛于分数阶随机热方程，这也是对称过程的极限。然而，当 $\alpha\geq 3/2$ 且弱非对称性的强度在 $1-3/2\alpha$ 尺度上调谐时，相关的极限点满足分数阶随机 Burgers 方程的鞅表述。